Как правильно нужно сделать: скоро планируется перелет с питомцем из Анталии в вену и из Вены автобусом в Братиславу. Что нужно сделать в аэропорту Вены? Красный коридор и печать? Или это не обязательно?

Можно пройти, но это необязательно.

Не обязательно, но лучше зайти за печатью. при получении европаспорта в Словакии любят выдумывать правила, которых нет (там будут смотреть справку. и могут докопаться до печати).