Скажите, в Казахстане после получения ВНЖ можно сделать так: остаётся постоянная прописка в одном городе, а в другом просто согласие на временное проживание? Или можно вообще ничего не делать, если где-то есть постоянная прописка?

Насколько я понимаю, после получения ВНЖ делай что хочешь, пока заграник не закончится….

Иностранцев с ВНЖ проверяют чаще, чем граждан. За проживание по какому-либо адресу без регистрации на этом адресе - вам штраф и собственнику штраф. Есть временная регистрация. Но она не работает при отсутствии собственного жилья, то есть по сути вы не можете арендовать жилье в двух местах одновременно. Либо это придется доказывать, чтобы не менять постоянную регистрацию, и дополнительно оформить временную.

Временную прописку до 12 месяцев сделать можно с собственником в миграционке.