Скажите, пожалуйста, что надо из документов, чтобы перевезти урну с прахом домашнего питомца через границу?

Вообще, надо посмотреть таможенные правила страны, через границы которой вы поедете. Если у вас будет какой-нибудь акт от ветеринарной клиники, где кремировали животное + паспорт, то провозится по общим правилам как личный груз. Плюс, на наземных границх сильно не досматривают.