Собираюсь лететь через Турцию в Венгрию с собакой в начале августа. У меня есть шенгенская французская туристическая виза до октября.

Попробуйте сначала купить такой билет на собаку:) если Туркиши, то места были ток на октябрь.

Все стандартно: чип, прививка от бешенства, поставленная после чипа (ревакцинация, сделанная в срок, либо первичная, но в этом случае нужно карантин выдерживать), евросертификат оформленный по правилам. Обратите внимание, вакцины российского производства не считаются, нужна европейская/американская И ещё важно, чтобы в евросертификат оформляли маршрут правильно - старт из РФ обязательно, Турция указана как транзит, конечное место назначения - Венгрия. Т. к. если вы из Турции полетите, а не из РФ с пересадкой, то нужны титры и выдержка их в три месяца.