Подскажите, пожалуйста, в Калининграде есть агенство, которое официально трудоустраивает в Южной Корее?

Агенства которые офециально трудоустраивают не корейцев (по национальности) в России нет. Те кто предлагают в лучшем случае зарабатываюи на вас оформлением загран паспортов, виз, покупка билетов. На том что и сами можете делать. Читайте сайт посольства и консульство республики кореи. Если у вас есть достижения в искустве и науке то можно найти кто вас пригласит.