Подскажите пожалуйста, какой район лучше рассматривать для аренды жилья с годовалым ребёнком?

Центр не рекомендую. Смотрите район арабкира, там парков много. В Аване детские площадки тоже есть.

Шенгавит, недалеко от площади. Недорогой район, школы, садики, все банки, гипермаркеты, вет клиника, частная клиника, множество магазинов, рынок, довольно тихо, есть метро.