Подскажите, пожалуйста, если я знаю, что останусь в Узбекистане дольше 15 дней, то мне нужно с первого дня регистрироваться или можно с 15ого?

До 15 дней можно без регистрации, поэтому нужно не с первого, а чтобы период без регистрации на момент получения регистрации не превысил 14 дней после въезда в страну. Если планируете быть в районе 20-25 дней, то можете на 13-й или 14-й день съездить в Шимкент погулять, срок обнулится и можете не делать регистрацию.