Подскажите пожалуйста, можно ли перейти с одной работы на другую не покидая Катар?

Да, но зависит от работодателя и контракта. Больше от 1ого и отношений с ним. Они через Metrash компании делают перевод или просто снимают с учета и новый работодатель вносит уже снова. Переговорите с HR.