Кто подскажет, в каком банке можно открыть счёт без гражданства РА?

Подскажите, пожалуйста, для дистанционной выписки из квартиры в РФ, здесь в консульство надо записываться? Не нашёл подобной услуги для записи.

Смотря какие есть документы. Гражданину РФ так-то в любом банке могут счет открыть (ну или почти любом). Но сильно зависит от того работаете ли вы в РА, есть ли договор аренты, есть ли вид на жительство и так далее.

В любом. Но в каждом банке свои условия.