Подскажите пожалуйста, если паспорт заканчивается 15 мая , на этой неделе смогу заехать из РФ в Грузию?

НЕТ.

Можете. Въезжать можно по действующему паспорту, даже если ему остался действовать один день.

Всем гражданам стран бывшего СНГ для поездки в Грузию понадобится только действующий заграничный паспорт. Стоит помнить, однако, что срок действия загранпаспорта на момент окончания поездки в Грузию должен составлять не менее трёх месяцев.