Делал уведомление о прибытии в Атырау, снимаю квартиру в Астане, надо ли повторно делать уведомление, или как-то регистрироваться в новом месте?

Надо но не вам, а тому, кто вас принимает. Это его проблема а не ваша)

Да.

Если собственник не против, пусть сделает. Вам то штрафа не будет, а если собственника накажут, вам вторичные санкции прилетят) в виде испорченных отношений с собственником.