Подскажите, есть ли способ выписаться из квартиры в РФ и сделать регистрацию там же, но в другом городе, без личной поездки в Сербию?

На госуслугах.

Дистанционная регистрация законодательством не предусмотрена. Это связано с тем, что регистрация осуществляется по месту жительства или месту пребывания что предполагает нахождение человека собственно по месту жительства/пребывания. Согласно п. 16 Правил регистрации, утв. Постановлением Правительства РФ от 17.07.1995 N 713.