Могут ли на новую квартиру, но не подключенную ни к воде, ни к электричеству, выставить счёт за обслуживание с момента подписания договора? Даже до того, как выдали ключи?

Логично оплачивать услуги с момента получения недвижимости в собственность, т. е. в момента регистрации в кадастре. А в кадастре сейчас регистрируют в течение 21 дня с момента заключения договора. Так называемые договора без даты и без регистрации числятся на застройщике с условием, что платежи и сервис оплачивает покупатель-инвестор и "удерживает" недвигу за собой продолжительное время. Но, это риск - не быть зарегистрированным собственником за фактически (частично) уплаченную квартиру(Ы) или дом (А).

Вы должны подписать договор на обслуживание отдельно от дкп.