Подскажите, можно ли заполнить анкету TBC в одном отделении, а открыть счет после одобрения уже в другом? Например, заполнить анкету в Тбилиси и дожидаться одобрения в Батуми?

Да, можно. Скажите при подаче в каком отделении хотите карту получить. В рамках Тбилиси так точно можно. Если именная карта не нужна можно в течение часа все получить. А потом именную уже в Батуми сделать.