Подскажите, пожалуйста, после истечения 90 дней пребывания в Турции в период 180 дней, когда следующие 180 дней начинаются?

С даты въезда вашего в Турцию.

Считается обратным счетом каждый раз со дня вашего ВЫЕЗДА из Турции. То есть, на границе отсчитывают назад 180 дней и проверяют сколько за этот период вы в общей сложности провели в стране (Вы могли много раз за полгода приезжать и уезжать). И делают вывод превысили ли вы допустимые 90 дней или нет. Если превысили - штраф.