Можете подсказать: подавал на Кету в Южную Корею- 3 отказа по новому паспорту. Могу ли я подать ещё на Кету по старому паспорту, если он заканчивается в декабре этого года?

Можете, но вас не пустят, т. к срок действия паспорта истекает ранее чем через 6 месяцев.

Подавайте на визу.

Никто не даст визу на паспорт со сроком менее 6 месяцев. Если остаться менее 2 месяцев, никто вам не даст никакую визу.