Я родился в Молдавии, 10 лет там жил. Если подать на гражданство там, они дадут паспорт, по которому я могу по Европе ездить?

Насколько я знаю, вы по праву рождения являетесь гражданином Молдовы. Гражданство не нужно получать, оно по умолчанию есть. Вам надо предъявить свидетельство о рождении и другие документы, если есть, и получить действительные документы. Быстрее всего это будет сделать в Молдове, и займет это 1-2 недели, не больше.