Подскажите, в Черногории, если нужен договор аренды на 1 год, то нужно ли оплачивать заранее за весь год вперед? Или можно помесячно или частями?

Конечно, помесячно.

По опыту, если договор на год, оплачивать нужно только первый месяц.

В подавляющем большинстве случаев сразу отдаете тройную сумму: первый-последний-залог.