Подскажите, пожалуйста, а сколько можно находиться гражданам России в Узбеистане без регистрации? Находил инфу, что 15 дней было можно.

Так и есть. В гостинице вам сделают регистрацию автоматическй, если вы снимите квартиру, хозяин тоже сделает, надо будет вместе сходить в паспортный стол. Регистрацию можно делать на полгода, потом продлевать на такой же срок, а то и на год.