как прописаться в съемном жилье? Договор аренды на руках.

Идёте в управу и спрашиваете отдел рахвастику регистра.

Онлайн или ношками в linnaosa valitsus(у каждого района она своя)

Для начала надо это согласовать с владельцем - то есть по закону имеете абсолютно право прописаться, имея договор на руках, но было несколько случаев когда хозяева выселяли прописавшихся самостоятельно жильцов - если конечно у вас в договоре не указано что он не имеет права его расторгнуть в течение какого-то времени.

Не надо никуда ходить. Сканите договор, отправляете его на портале eesti. ee на рассмотрение, через пару дней чиновник его утверждает - вот и вся регистрация.