Скажите пожалуйста, если одобрение о продлении пришло раньше, чем закончилась предыдущая резиденция, на новую карточку можно сразу брать ситу, или нужно дождаться окончания предыдущей?

Ситу брать надо сразу, но на дату сразу после окончания))

Ситу можно брать когда угодно. Но дата этой ситы должна быть не ранее даты окончания текущей карты. То есть карта до 9 июля, отпечатки можно сдавать начиная с 10.