Уже несколько дней пробую записаться на подачу документов на сайте BLS, но при запросе проверочного кода просто обновляется страница и ничего не происходит, код не приходит.

Потыркайте там на разные страницы. И заходите через предварительную запись сверху, а не через шаг номер 2. И всё получится)

Код на почту приходит и чаще всего в спам там надо зайти в письмо и ткнуть на ссылку и ещё раз почту и покажет код который нужно внести. По крайне мере у меня было так при записи и когда места ловила. Но у меня стоит хром на компе. С телефона вообще не получилось.

До выбора даты доходили?