Подскажите, пожалуйста, рассчитаться/снять деньги в Абхазии можно только с карты МИР?

Нет, с любой.

Правда мы не снимали, но платить платили без проблем.

Визой платила и снимала. Но лучше брать наличку максимально. Далеко не везде принимают оплату картой. Много где можно оплатить переводом.