Слышала, что ребёнок должен быть обязательно вписан в паспорт родителя, у кого-то проверяли погранцы , подскажите?

Не обязательно . Сейчас детей в паспорт по желанию вписывают.

Российская сторона тщательно детей проверяет, но не паспорт с вписанием. Проверяют свидетельство о рождении/паспорт и задают детям вопросы. Мой на вопрос «когда у мамы др» ответил: вроде декабрь, где-то в двадцатых числах.

Нет. Паспорт отдельно проверяли. На ту страницу не смотрели. Свидетельство отдельно. Но мы на поезде проходили границу.