Надо ввезти наличные деньги на Кипр и как это задекларировать, чтобы потом предоставить эту декларацию в эмигрейшн?

Декларируется вывоз из той страны , из которой вылетаете( везде свои правила). На кипре идете в красный коридор (от 10 000€ вроде, но не уверен) и показываете отштампованную в аэропорту вылета декларацию.

Лучше банковским переводом из банка страны, где Вы являетесь резидентом. Миграционная служба хочет видеть не только сумму, но и стабильность вашего дохода, получаемого за пределами Кипра.