кто-то ездил уже из Тбилиси в Батуми с собакой? На чем вы добирались и какие были правила перевоза?

На "такси"/с водителем. Главное его предупредить и нормально воспринимать, если откажется. Чтобы был посговорчивей можно купить специальную подстилку на задние сиденья или взять покрывало, ну и собаку вычесать.