Скажите пожалуйста, как машину взять напрокат в Армении? Нормально на арендованной машине в Грузию съездить?

А машины напрокат можно брать обычно. Есть тот же rentalcars.

Не думаю, что разрешат не арендованной выезжать за пределы другой страны. Это не ЕС.