Подскажите, пожалуйста: есть намерение уехать на ближайшее время в Турцию, и, скорее всего, остаться Насколько я понимаю - 60 дней здесь можно провести без проблем, после этого нужно улетать/подавать на внж/подаваться как беженец.

Нет не так, у вас в периоде 180 дней всего 90 разрешение оставаться в стране, причем после первых 30 надо выехать и потом вернуться, или после 60 уехать и оставшийся 30 вернуться. Говорят что к русским лояльны, и нет огромных штрафов но все таки много кто не рискует. ВНЖ пока не делали, но говорят относительно легко.

Россияне могут находиться на территории Турции без визы 60 дней в один непрерывный заезд или с выездами из страны, но тогда не более 90 дней из 180, то есть в совокупности — это три месяца один раз в полгода. Есть сайт где можно расчитать количество дней. Погуглите