Подскажите стоит ли что-то регистрация арендного договора по квартире в налоговой для ВНЖ и кто обычно несет эти расходы (арендатор или арендодатель)?

Да, за регистрацию есть плата. Расходы несёт сторона, которая заинтересована в этом. И налог за доход.

На днях регистрировали договор в налоговой мы арендаторы оплачивали, но доход полученный арендодателем оплачивает он в течении времени на который вы сняли жильё.