Подскажите, после подачи документов на сербский ВНЖ можно выезжать из страны?

Да, главное вернитесь в назначенный срок, когда забирать бумаги.

Ну по закону вообще-то нельзя. Вопрос в том - на какой срок... Привременный боравак - это налепница, которую вклеивают в паспорт и приглашают для этого с паспортом лично, иногда паспорт забирают сразу, выдают некую бумагу о том, что забрали доки. На практике люди выезжают конечно на свой страх и риск, например по второму паспорту. Иногда прокатывает, когда паспорта всех членов семьи получает кто-то один из супругов . Но если это впервые, риск налететь на неприятности таки имеет место быть.