Подскажите, насколько реально снять 1-комнатную квартиру в Анталии или Алании с бюджетом 3-4 тыс лир в месяц?

Маловероятно. Может только если на длительный срок на турецком сайте, но варик будет скорее вчего откровенно слабый. Плюс не забывайте про коммуналку за ваш счет.