Подскажите пожалуйста, если отец платит алименты в России, должен ли он платить их и в Израиле, имея двойное гражданство?

Смена местоположения или жилья ребёнка до 18 лет никак не влияет на продолжение оплаты алиментов. Два решения: либо он пересылает алименты любым способом заграницу, а их множество. Либо открывает специальный сберегательный счёт на ребёнка в банке России и туда каждый месяц перечисляет деньги в рублях.

Должен. То, что ребенок в другой стране, ничего не меняет.

Смотря какие элементы, микро или макро?.

Называется это дело конвенцией о взыскание алиментов, обе страны ее подписали так что будучи в Израиле можно и приставов натравить, и судится и счёт закрыть и принимать меры также как и находясь в одной стране.