Нужно ли учить сербский перед переездом? или русский в Сербии и так понимают? А если учить, то где и как лучше? Может есть какое-то приложение и т. п.

Если вы знаете английский, то для начала вам этого хватит. Решение о том учить сербский или нет лучше принимать уже находясь в сербии.

Учите, это сильно полезно. Хотя бы самое-самое простое. Русский здесь понимают на уровне - подойдёт к вам дед, скажет, что они учил русский в школе и в доказательство сосчитает до пяти. Не рассчитывайте на большее, хотя бывает. Изучение языка - лучшая в мире подготовка к переезду, не считая покупки наличной валюты. Поищите учебник Чарского хотя бы в сети, на бумаге он бывает доступен редко.