Из Новосибирска, как и из любого другого города России вам нужно сначала добраться до Сочи на самолете или на поезде до ж/д вокзала Адлера. Обратите внимание на то, что вам нужно ехать не до ж/д вокзала Сочи, а дальше - до ж/д вокзала Адлера (Адлерский район города Сочи). Адлер находится ближе к границе с Абхазией.
Аэропорт Сочи также находится в Адлерском районе. От аэропорта до границы порядка 10 километров. И добраться до границы можно на такси или автобусе № 173.
От ж/д вокзала ходят маршрутные такси № 57, 100, 117, 125. Они следуют до остановки "Казачий рынок". Далее до КПП пешком 10-15 минут.
Если хотите сэкономить время и нервы, лучше все же заказать такси. Но брать машину не в аэропорту или на вокзале, а заранее заказать через интернет. Так выйдет гораздо дешевле.
После пересечения границы вы попадаете на абхазский автовокзал, откуда сможете доехать до пункта назначения. Там же вас будут ждать таксисты.
В 2016 году из Адлерского ж/д вокзала пустили электричку "Ласточка" до Гагр. Но ходит она только в летние месяцы. Расписание можно уточнить на ж/д вокзале.
Я думаю, что в данном случае главное добраться из Новосибирска до Сочи )))) А оттуда уже до Абхазии рукой подать.
Самолеты в помощь. Прямых рейсов насколько я помню нет. Так что Новосибирск-Москва, а потом Москва-Сочи это самый оптимальный вариант.