Сначала я бы хотела коротко рассказать, как единая Корея разделилась на Северную и Южную, а потом коснусь самого названия этих стран.
До 1910 года Корея была единым независимым государством, границы которого примерно совпадали с границами Северной Кореи и Южной Кореи, взятых вместе. В 1910 году Японская империя присоединила Корею к себе, и Корея оставалась несамостоятельной до 1945 года, то есть до окончания Второй мировой войны. СССР и США решили, что Корея будет разделена по 38-й параллели на северную и южную часть (северная отходила под контроль СССР, южная - США). Планировалось, что позднее страна снова объединится, но этого не произошло, так как США и СССР не смогли прийти к соглашению. В южной части страны прошли выборы, по результатам которых президентом провозглашенной Республики Кореи становился Ли Сын Ман. В северной части к власти пришли коммунисты, и после выборов в высший законодательный орган была создана Корейская Народно-Демократическая Республика (КНДР), во главе которой встал премьер-министр Ким Ир Сен.
Что касается названий, то слово "Корея", которым пользуются за пределами страны, происходит от "Корё" – так называлось государство, которое существовало на Корейском полуострове в X-XIV веках. Поскольку о существовании этой страны арабам и европейцам стало известно примерно в это же время, то название (с небольшими вариациями) так и закрепилось в иностранных языках. Названия "Северная Корея" и "Южная Корея" неофициальные, в Республике Кореи страну называют Тэхан мингук (сокращая до Хангук), а в Корейской Народно-Демократической Республике – Чосон минджуджуый инмин конхвагук.
Южная Корея находится на южной половине Корейского полуострова. На корейском это государство иногда называют Намхан, что означает Южная Хан. А Северная Корея, соответственно находящаяся на северной части, называется Пукхан. - то есть Северная Хан. Хан - это название древних племен. Корея до 1945 года была единой страной, после поражения Японии на войне остров был разделен между США и Советским Союзом. Северная часть перешла к СССР, южная к США. Вот и пошли после этого современные названия.